$x \geq 0$ のとき、不等式 $2x^3 \geq a(x^2 - 3)$ が常に成り立つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、不等式 $2x^3 \geq a(x^2 - 3)$ が常に成り立つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2x^3 \geq a(x^2 - 3)$

$x^2 - 3$ の符号によって場合分けを行います。

(i) $x^2 - 3 > 0$ つまり $x > \sqrt{3}$ のとき

$a \leq \frac{2x^3}{x^2 - 3}$

$f(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 3}$ とおき、$x > \sqrt{3}$ における $f(x)$ の最小値を求めます。

$f'(x) = \frac{6x^2(x^2 - 3) - 2x^3(2x)}{(x^2 - 3)^2} = \frac{6x^4 - 18x^2 - 4x^4}{(x^2 - 3)^2} = \frac{2x^4 - 18x^2}{(x^2 - 3)^2} = \frac{2x^2(x^2 - 9)}{(x^2 - 3)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 3$ のとき ($x > \sqrt{3}$ より)。

$f'(x)$ の符号を調べると、$x > \sqrt{3}$ において、$x = 3$ の前後で $f'(x)$ の符号は負から正に変わるので、$f(x)$ は $x = 3$ で極小かつ最小となります。

$f(3) = \frac{2(3^3)}{3^2 - 3} = \frac{2(27)}{6} = 9$

したがって、$a \leq 9$

(ii) $x^2 - 3 = 0$ つまり $x = \sqrt{3}$ のとき

$2(\sqrt{3})^3 \geq a((\sqrt{3})^2 - 3)$

$2(3\sqrt{3}) \geq a(0)$

$6\sqrt{3} \geq 0$

これは常に成り立つので、$a$ に関わらず成立します。

(iii) $x^2 - 3 < 0$ つまり $0 \leq x < \sqrt{3}$ のとき

$a \geq \frac{2x^3}{x^2 - 3}$

$g(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 3}$ とおき、$0 \leq x < \sqrt{3}$ における $g(x)$ の最大値を求めます。

$x \to \sqrt{3} - 0$ のとき $g(x) \to -\infty$.

$x = 0$ のとき $g(0) = 0$.

$g'(x) = \frac{2x^2(x^2 - 9)}{(x^2 - 3)^2}$

$0 < x < \sqrt{3}$ において、$g'(x) < 0$ なので $g(x)$ は単調減少。

したがって、最大値は $g(0) = 0$.

$a \geq 0$

(i), (ii), (iii) より、$a \leq 9$ と $a \geq 0$ が必要です。

$x = 0$ のとき、$0 \geq -3a$ より、$a \geq 0$.

したがって、$0 \leq a \leq 9$ となります。

しかし、$x \geq 0$ で常に $2x^3 \geq a(x^2-3)$が成立つ条件を求める必要があります。

$x=0$ のとき、$0 \ge -3a$ つまり $a \ge 0$

$x>0$ のとき、$a \le \frac{2x^3}{x^2-3}$ である必要があります。

$h(x) = \frac{2x^3}{x^2-3}$ のグラフを考えると、

$x \to \sqrt{3}^-$ のとき、$h(x) \to -\infty$

$x \to \sqrt{3}^+$ のとき、$h(x) \to +\infty$

$h(3) = \frac{2 \times 27}{9-3} = \frac{54}{6} = 9$

$a \le h(x)$ が常に成立するためには、$a \le 0$ である必要があります。しかし $a \ge 0$ である必要があるので、 $a=0$ です。

$x \geq 0$ のとき、$2x^3 \geq 0$ なので、 $a(x^2-3) \leq 0$.

$a=0$ のとき、$2x^3 \geq 0$ となり、$x \geq 0$ で常に成立します。

3. 最終的な答え

$a = 0$