与えられた関数 $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2}$ を微分して、$y'$ を求めます。ここでは底が10の常用対数$\log$として扱います。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2}$ を微分して、$y'$ を求めます。ここでは底が10の常用対数$\log$として扱います。

2. 解き方の手順

まず、$u = \log x - 5$ とおくと、$y = \frac{1}{u^2} = u^{-2}$ となります。

次に、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。$\log x$ の微分は $\frac{1}{x \ln 10}$ であることを利用します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\log x - 5) = \frac{1}{x \ln 10}$

最後に、連鎖律を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{2}{u^3} \cdot \frac{1}{x \ln 10} = -\frac{2}{(\log x - 5)^3} \cdot \frac{1}{x \ln 10}$

したがって、

$y' = -\frac{2}{x \ln 10 (\log x - 5)^3}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2}{x \ln 10 (\log x - 5)^3}$