問題1.3: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2 - x$, $g: [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \sqrt{1 - x^2}$のとき、次の合成関数とその定義域を求めよ。 (1) $f \circ g$ (2) $g \circ f$

1. 問題の内容

問題1.3:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2 - x$, $g: [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \sqrt{1 - x^2}$のとき、次の合成関数とその定義域を求めよ。

(1) $f \circ g$

(2) $g \circ f$

2. 解き方の手順

(1) $f \circ g$ を求める。

まず、$f \circ g (x) = f(g(x))$ を計算する。

$f(g(x)) = f(\sqrt{1-x^2}) = 2 - \sqrt{1 - x^2}$

次に、$f \circ g$ の定義域を求める。

$g(x)$ の定義域は $[-1, 1]$ である。

$g(x)$ の値域は $[0, 1]$ であり、$f(x)$ の定義域は $\mathbb{R}$ であるから、

$f(g(x))$ は定義されている。

したがって、$f \circ g$ の定義域は $[-1, 1]$ である。

(2) $g \circ f$ を求める。

まず、$g \circ f (x) = g(f(x))$ を計算する。

$g(f(x)) = g(2 - x) = \sqrt{1 - (2 - x)^2}$

次に、$g \circ f$ の定義域を求める。

$f(x)$ の定義域は $\mathbb{R}$ である。

$g(f(x)) = \sqrt{1 - (2 - x)^2}$ が定義されるためには、$1 - (2 - x)^2 \geq 0$ である必要がある。

$1 - (2 - x)^2 \geq 0$

$1 \geq (2 - x)^2$

$-1 \leq 2 - x \leq 1$

$-3 \leq -x \leq -1$

$1 \leq x \leq 3$

また、$f(x)$ の値域が、$g$ の定義域である $[-1, 1]$ に含まれる必要があるので、

$-1 \leq 2 - x \leq 1$ を満たす $x$ を求める。

$-3 \leq -x \leq -1$

$1 \leq x \leq 3$

したがって、$g \circ f$ の定義域は $[1, 3]$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f \circ g (x) = 2 - \sqrt{1 - x^2}$、定義域 $[-1, 1]$

(2) $g \circ f (x) = \sqrt{1 - (2 - x)^2}$、定義域 $[1, 3]$