数列 $\{I_n\}$ が $I_0 = \int_0^1 e^{-x} dx$ および $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）で定義されるとき、以下の問いに答える。 (1) $I_0$ を求めよ。 (2) $I_1$ を求めよ。 (3) $n \geq 2$ のとき、$I_n - nI_{n-1}$ を $n$ の式で表せ。 (4) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求めよ。 (5) $S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{I_n\}$ が $I_0 = \int_0^1 e^{-x} dx$ および $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）で定義されるとき、以下の問いに答える。

(1) $I_0$ を求めよ。

(2) $I_1$ を求めよ。

(3) $n \geq 2$ のとき、$I_n - nI_{n-1}$ を $n$ の式で表せ。

(4) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求めよ。

(5) $S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $I_0$ を求める。

$I_0 = \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - \frac{1}{e}$

(2) $I_1$ を求める。

$I_1 = \int_0^1 x e^{-x} dx$

部分積分を行う。$u = x, dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx, v = -e^{-x}$ となる。

$I_1 = [-xe^{-x}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x}) dx = -e^{-1} + \int_0^1 e^{-x} dx = -\frac{1}{e} + [-e^{-x}]_0^1 = -\frac{1}{e} - e^{-1} + 1 = 1 - \frac{2}{e}$

(3) $I_n - nI_{n-1}$ を $n$ の式で表す。

$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$ を部分積分する。$u = x^n, dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = nx^{n-1} dx, v = -e^{-x}$ となる。

$I_n = [-x^n e^{-x}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x}) nx^{n-1} dx = -e^{-1} - 0 + n \int_0^1 x^{n-1} e^{-x} dx = -\frac{1}{e} + nI_{n-1}$

したがって、$I_n - nI_{n-1} = -\frac{1}{e}$

(4) $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求める。

$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$. $0 \le x \le 1$ において、$x^n$ は $n \to \infty$ で $x < 1$ ならば 0 に収束し、$x = 1$ ならば 1 になる。また、$0 \le e^{-x} \le 1$ である。

$0 \le x^n e^{-x} \le x^n$. $\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$. よって、$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n e^{-x} dx = 0$.

したがって、$\lim_{n \to \infty} I_n = 0$

(5) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ は $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ において $x=1$ としたものなので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

3. 最終的な答え

(1) $I_0 = 1 - \frac{1}{e}$

(2) $I_1 = 1 - \frac{2}{e}$

(3) $I_n - nI_{n-1} = -\frac{1}{e}$

(4) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$

(5) $\lim_{n \to \infty} S_n = e$