関数 $f(x, y) = x^3 \sin(x^2 y)$ の $x$ に関する偏導関数 $f_x(x, y)$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 \sin(x^2 y)$ の $x$ に関する偏導関数 $f_x(x, y)$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = x^3 \sin(x^2 y)$ を $x$ で偏微分します。積の微分と合成関数の微分を使います。

$\frac{\partial}{\partial x} (x^3) = 3x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} (\sin(x^2 y)) = \cos(x^2 y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y) = \cos(x^2 y) \cdot 2xy = 2xy \cos(x^2 y)$

したがって、

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 \sin(x^2 y)) = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) \sin(x^2 y) + x^3 \frac{\partial}{\partial x} (\sin(x^2 y))$

$= 3x^2 \sin(x^2 y) + x^3 (2xy \cos(x^2 y))$

$= 3x^2 \sin(x^2 y) + 2x^4 y \cos(x^2 y)$

3. 最終的な答え

したがって、$f_x(x, y) = 3x^2 \sin(x^2 y) + 2x^4 y \cos(x^2 y)$となり、選択肢の④が正しいです。

答え: ④