## 問題

## 問題

画像に写っている問題の中から、以下の2問を解きます。

(6) $y = (3x + 4)(3x - 5)^{\frac{1}{2}}$

(8) $y = \frac{x}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

## 解き方の手順

### (6) $y = (3x + 4)(3x - 5)^{\frac{1}{2}}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

1. $u = 3x + 4$ , $v = (3x - 5)^{\frac{1}{2}}$ と置きます。

2. $u' = 3$ となります。

3. $v' = \frac{1}{2}(3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x - 5)^{-\frac{1}{2}}$ となります（合成関数の微分）。

4. 積の微分公式に当てはめます。

$y' = 3(3x - 5)^{\frac{1}{2}} + (3x + 4) \cdot \frac{3}{2}(3x - 5)^{-\frac{1}{2}}$

5. $(3x - 5)^{-\frac{1}{2}}$ でくくります。

$y' = (3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \left[3(3x - 5) + \frac{3}{2}(3x + 4) \right]$

6. 括弧の中を整理します。

$y' = (3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \left[9x - 15 + \frac{9}{2}x + 6 \right]$

$y' = (3x - 5)^{-\frac{1}{2}} \left[\frac{27}{2}x - 9 \right]$

$y' = \frac{9}{2}(3x - 5)^{-\frac{1}{2}} (3x - 2)$

$y' = \frac{9(3x - 2)}{2\sqrt{3x - 5}}$

### (8) $y = \frac{x}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

1. $u = x$ , $v = x + \sqrt{x^2 + 1}$ と置きます。

2. $u' = 1$ となります。

3. $v' = 1 + \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります（合成関数の微分）。

4. 商の微分公式に当てはめます。

$y' = \frac{1 \cdot (x + \sqrt{x^2 + 1}) - x \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

5. 分子を整理します。

$y' = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1} - x - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

$y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

6. 分子を通分します。

$y' = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$

## 最終的な答え

(6) $y' = \frac{9(3x - 2)}{2\sqrt{3x - 5}}$

(8) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}$