以下の6つの関数を微分してください。 (1) $y = (x-1)^2$ (2) $y = (3x-1)^3$ (3) $y = (2x-1)(x-2)^2$ (4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$ (5) $y = \frac{1}{(2x^3+3)^2}$ (6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

はい、承知いたしました。問題文にある関数を微分します。

1. 問題の内容

以下の6つの関数を微分してください。

(1) $y = (x-1)^2$

(2) $y = (3x-1)^3$

(3) $y = (2x-1)(x-2)^2$

(4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$

(5) $y = \frac{1}{(2x^3+3)^2}$

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分公式を使用します。

$y = (x-1)^2$

$\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \cdot 1 = 2(x-1) = 2x-2$

(2) 合成関数の微分公式を使用します。

$y = (3x-1)^3$

$\frac{dy}{dx} = 3(3x-1)^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2$

(3) 積の微分公式と合成関数の微分公式を使用します。

$y = (2x-1)(x-2)^2$

$\frac{dy}{dx} = 2(x-2)^2 + (2x-1) \cdot 2(x-2) \cdot 1$

$= 2(x-2)^2 + 2(2x-1)(x-2)$

$= 2(x-2)[(x-2)+(2x-1)]$

$= 2(x-2)(3x-3) = 6(x-2)(x-1)$

(4) 合成関数の微分公式を使用します。

$y = (x^2 + 2x + 3)^2$

$\frac{dy}{dx} = 2(x^2+2x+3)(2x+2) = 4(x^2+2x+3)(x+1)$

(5) 合成関数の微分公式を使用します。

$y = \frac{1}{(2x^3+3)^2} = (2x^3+3)^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = -2(2x^3+3)^{-3} \cdot (6x^2) = -12x^2(2x^3+3)^{-3} = \frac{-12x^2}{(2x^3+3)^3}$

(6) 合成関数の微分公式を使用します。

$y = (x + \frac{1}{x})^3 = (x+x^{-1})^3$

$\frac{dy}{dx} = 3(x+x^{-1})^2 \cdot (1-x^{-2}) = 3(x+\frac{1}{x})^2(1-\frac{1}{x^2})$

$= 3(x+\frac{1}{x})^2(\frac{x^2-1}{x^2})$

$= 3(\frac{x^2+1}{x})^2(\frac{x^2-1}{x^2})$

$= \frac{3(x^2+1)^2(x^2-1)}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2x-2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 9(3x-1)^2$

(3) $\frac{dy}{dx} = 6(x-2)(x-1)$

(4) $\frac{dy}{dx} = 4(x^2+2x+3)(x+1)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-12x^2}{(2x^3+3)^3}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2+1)^2(x^2-1)}{x^4}$