数列の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 2n}{2n^2 + 5n}$

了解しました。画像にあるそれぞれの問題について、解き方を説明します。

**問題 (4)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 2n}{2n^2 + 5n}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 2n}{2n^2 + 5n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{n}}{2 + \frac{5}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{5}{n} \to 0$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{n}}{2 + \frac{5}{n}} = \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

**問題 (5)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 4n}{2n^2 - 3}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 4n}{2n^2 - 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{n}}{2 - \frac{3}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{4}{n} \to 0$、$\frac{3}{n^2} \to 0$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{n}}{2 - \frac{3}{n^2}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$

**問題 (6)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n^2 + 1}{3n^3 + 4n}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n^3$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n^2 + 1}{3n^3 + 4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{4}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^3} \to 0$、$\frac{4}{n^2} \to 0$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{4}{n^2}} = \frac{4 - 0 + 0}{3 + 0} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$

**問題 (7)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n - 4}{n^2 + 1}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n - 4}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{4}{n^2} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

$0$

**問題 (8)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n}{5n + 4}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n}{5n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 3}{5 + \frac{4}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{4}{n} \to 0$であり、$n - 3 \to \infty$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n - 3}{5 + \frac{4}{n}} = \frac{\infty}{5 + 0} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$ (無限大)

**問題 (9)**

1. 問題の内容

数列の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-n^3 + 1}{3n^2 - 2}$

2. 解き方の手順

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{-n^3 + 1}{3n^2 - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{-n + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$、$\frac{2}{n^2} \to 0$であり、$-n \to -\infty$です。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{-n + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}} = \frac{-\infty + 0}{3 - 0} = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$ (マイナス無限大)