以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{4n-3}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n-3}{n+1}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{4n-3}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n-3}{n+1}$

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母を$n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1} = \frac{2+0}{1} = 2$

(2)

分子と分母を$n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{4n-3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{4 - \frac{3}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{4 - \frac{3}{n}} = \frac{2}{4-0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(3)

分子と分母を$n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n-3}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$と$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2-0}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{1}{2}$

(3) 2