以下の4つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$ (3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n^2 + 4n} - n}$

はい、承知いたしました。与えられた問題の極限を計算します。

1. 問題の内容

以下の4つの極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n^2 + 4n} - n}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1})$

$\sqrt{n} - \sqrt{n+1} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = 0$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$

$\frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{n+1 - n} = 3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} 3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = \infty$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)$

$\sqrt{n^2 + 3n} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + 3n} - n)(\sqrt{n^2 + 3n} + n)}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \frac{n^2 + 3n - n^2}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \frac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n}$

$\frac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \frac{3n}{n\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + n} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 1}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n^2 + 4n} - n}$

$\frac{2}{\sqrt{n^2 + 4n} - n} = \frac{2(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{(\sqrt{n^2 + 4n} - n)(\sqrt{n^2 + 4n} + n)} = \frac{2(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{n^2 + 4n - n^2} = \frac{2(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{4n}$

$\frac{2(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{4n} = \frac{2(n\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + n)}{4n} = \frac{2n(\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1)}{4n} = \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1}{2}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n^2 + 4n} - n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1}{2} = \frac{\sqrt{1 + 0} + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) 1