次の4つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2+x-14}{x^3-x^2-x-2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin^{-1}x}{x^3}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{\sqrt[3]{x-1}}$

1. 問題の内容

次の4つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2+x-14}{x^3-x^2-x-2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin^{-1}x}{x^3}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{\sqrt[3]{x-1}}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=2$を代入すると、分子は$3(2^2)+2-14 = 12+2-14 = 0$、分母は$2^3-2^2-2-2 = 8-4-2-2=0$となり、不定形$\frac{0}{0}$である。そこで、分子と分母を因数分解する。

$3x^2+x-14 = (3x+7)(x-2)$

$x^3-x^2-x-2 = (x-2)(x^2+x+1)$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2+x-14}{x^3-x^2-x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(3x+7)(x-2)}{(x-2)(x^2+x+1)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x+7}{x^2+x+1}$

$x=2$を代入すると、$\frac{3(2)+7}{2^2+2+1} = \frac{6+7}{4+2+1} = \frac{13}{7}$

(2)

$x=0$を代入すると、分子は$e^0 - \cos 0 = 1-1=0$、分母は$0$となり、不定形$\frac{0}{0}$である。そこで、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x}{1} = e^0+\sin 0 = 1+0 = 1$

(3)

$x=0$を代入すると、分子は$0-\sin^{-1}(0) = 0-0=0$、分母は$0^3=0$となり、不定形$\frac{0}{0}$である。そこで、ロピタルの定理を適用する。$\sin^{-1}x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。

$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin^{-1}x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{3x^2\sqrt{1-x^2}}$

さらにロピタルの定理を適用する前に、分母分子に $\sqrt{1-x^2}+1$ をかけると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1-x^2-1}{3x^2\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)}$

$x=0$を代入すると、$\frac{-1}{3\sqrt{1-0}(\sqrt{1-0}+1)} = \frac{-1}{3(1)(1+1)} = \frac{-1}{3(2)} = -\frac{1}{6}$

(4)

$x=1$を代入すると、分子は$\sqrt[3]{3(1)+5}-2 = \sqrt[3]{8}-2 = 2-2=0$、分母は$\sqrt[3]{1-1} = \sqrt[3]{0}=0$となり、不定形$\frac{0}{0}$である。そこで、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{\sqrt[3]{x-1}} = \lim_{x \to 1} \frac{(3x+5)^{1/3}-2}{(x-1)^{1/3}}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3}(3x+5)^{-2/3}(3)}{\frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}} = \lim_{x \to 1} \frac{(3x+5)^{-2/3}}{(x-1)^{-2/3}} = \lim_{x \to 1} \left(\frac{x-1}{3x+5}\right)^{2/3}$

$x=1$を代入すると、$\left(\frac{1-1}{3(1)+5}\right)^{2/3} = \left(\frac{0}{8}\right)^{2/3} = 0^{2/3} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{7}$

(2) $1$

(3) $-\frac{1}{6}$

(4) $0$