与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \log|3x+2|$ (2) $y = \log_3|x^2-4|$ (3) $y = \log|\sin x|$ (4) $y = \log(x+\sqrt{x^2+1})$ ただし、$\log$ の底は特に指定がない場合は10とします。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \log|3x+2|$

(2) $y = \log_3|x^2-4|$

(3) $y = \log|\sin x|$

(4) $y = \log(x+\sqrt{x^2+1})$

ただし、$\log$ の底は特に指定がない場合は10とします。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log|3x+2|$ の微分

$y' = \frac{1}{(3x+2)\ln 10} \cdot 3 = \frac{3}{(3x+2)\ln 10}$

(2) $y = \log_3|x^2-4|$ の微分

$y' = \frac{1}{(x^2-4)\ln 3} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2-4)\ln 3}$

(3) $y = \log|\sin x|$ の微分

$y' = \frac{1}{\sin x \ln 10} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x \ln 10} = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(4) $y = \log(x+\sqrt{x^2+1})$ の微分

$y' = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})\ln 10} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})\ln 10} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})\ln 10} \cdot (\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}\ln 10}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3}{(3x+2)\ln 10}$

(2) $y' = \frac{2x}{(x^2-4)\ln 3}$

(3) $y' = \frac{\cot x}{\ln 10}$

(4) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}\ln 10}$