与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = x^2 \log x$ (2) $y = \log_3(2x-1)$ (3) $y = \log (\log x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = x^2 \log x$

(2) $y = \log_3(2x-1)$

(3) $y = \log (\log x)$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式を使います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$

$y' = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)$

(2) 合成関数の微分公式と底の変換公式を使います。

まず、底の変換公式を使って、$y = \log_3(2x-1) = \frac{\log(2x-1)}{\log 3}$ と変形します。

次に、合成関数の微分公式を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 3} \frac{d}{dx} \log(2x-1) = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{(2x-1) \log 3}$

(3) 合成関数の微分公式を使います。

$y = \log(\log x)$ なので、

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot (\log x)' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x(2\log x + 1)$

(2) $y' = \frac{2}{(2x-1)\log 3}$

(3) $y' = \frac{1}{x\log x}$