## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について導関数を求めます。

(7) $(1+x)^{1/2}$

(8) $\cos^{-1} \frac{1}{x}$

(9) $\cot x$ (ただし、$\cot x = \frac{1}{\tan x}$を使用します)

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2. 解き方の手順

**(7) $(1+x)^{1/2}$ の導関数**

これは合成関数の微分として計算できます。

$u = 1+x$ とおくと、$y = u^{1/2}$ となります。

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$

**(8) $\cos^{-1} \frac{1}{x}$ の導関数**

これも合成関数の微分として計算できます。

$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$y = \cos^{-1} u$ となります。

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2 \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}} = \frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

ただし、$|x| > 1$ である必要があります。

**(9) $\cot x$ の導関数**

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$と表現できます。商の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx}(\cot x) = \frac{d}{dx}(\frac{\cos x}{\sin x}) = \frac{(\cos x)'\sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

または、問題文で与えられた $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ を利用することもできます。

$\frac{d}{dx}(\cot x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\tan x}) = -\frac{1}{\tan^2 x} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = -\frac{1}{\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

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3. 最終的な答え

(7) $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$

(8) $\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

(9) $-\csc^2 x$