次の4つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x}$ (2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^x)}{x}$ (3) $\lim_{x \to +0} \frac{\log \sin x}{\log x}$ (4) $\lim_{x \to +0} (1+\frac{1}{x})^x$

1. 問題の内容

次の4つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x}$

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^x)}{x}$

(3) $\lim_{x \to +0} \frac{\log \sin x}{\log x}$

(4) $\lim_{x \to +0} (1+\frac{1}{x})^x$

2. 解き方の手順

(1)

ロピタルの定理を使用します。$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

(2)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^x)}{x}$ を求めます。

$x$ が十分に大きいとき、$e^x$ は 1 よりずっと大きくなるので、$1+e^x \approx e^x$ と近似できます。したがって、$\log(1+e^x) \approx \log(e^x) = x$ です。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\log (e^x(1+e^{-x}))}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\log e^x + \log (1+e^{-x})}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \log (1+e^{-x})}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{\log (1+e^{-x})}{x})$

$x \to +\infty$ のとき、$e^{-x} \to 0$ なので、$\log(1+e^{-x}) \to \log(1) = 0$ です。したがって、$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^{-x})}{x} = 0$

よって、$\lim_{x \to +\infty} \frac{\log (1+e^x)}{x} = 1 + 0 = 1$

(3)

$\lim_{x \to +0} \frac{\log \sin x}{\log x}$ を求めます。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \approx x$ と近似できます。したがって、$\log \sin x \approx \log x$ です。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log \sin x}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\log (x( \frac{\sin x}{x}))}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\log x + \log (\frac{\sin x}{x})}{\log x} = \lim_{x \to +0} (1 + \frac{\log (\frac{\sin x}{x})}{\log x})$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ なので、$\log (\frac{\sin x}{x}) \to 0$ です。一方、$\log x \to -\infty$ なので、$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\frac{\sin x}{x})}{\log x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \frac{\log \sin x}{\log x} = 1 + 0 = 1$

(4)

$\lim_{x \to +0} (1+\frac{1}{x})^x$ を求めます。

$y = (1+\frac{1}{x})^x$ とおくと、$\log y = x \log (1+\frac{1}{x})$ となります。

$\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} x \log (1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to +0} \frac{\log (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +0$ のとき、$t \to +\infty$ なので、

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\log (1+t)}{t}$

これは問題(2)と似ていますが、$e^x$ が $t$ に置き換わっただけです。

$\lim_{t \to +\infty} \frac{\log (1+t)}{t} = 0$ (ロピタルの定理または、$\log x$ は $x$ より遅く増加することから)

$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

したがって、$\lim_{x \to +0} (1+\frac{1}{x})^x = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1

(3) 1

(4) 1