次の関数の導関数を求めます。 (6) $x^{\sin x}$ (7) $(1+x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(6) $x^{\sin x}$

(7) $(1+x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(6) $x^{\sin x}$ の導関数を求めます。

まず、$y = x^{\sin x}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{\sin x}) = \sin x \ln x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln x + (\sin x) \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y = x^{\sin x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(7) $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求めます。

まず、$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln ((1+x)^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln (1+x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln (1+x) + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\frac{\ln (1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)} \right)$

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (1+x)^{\frac{1}{x}} \left( -\frac{\ln (1+x)}{x^2} + \frac{1}{x(1+x)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (1+x)^{\frac{1}{x}} \left( \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)} \right)$

3. 最終的な答え

(6) $x^{\sin x}$ の導関数は、

$x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(7) $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ の導関数は、

$(1+x)^{\frac{1}{x}} \left( \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)} \right)$