画像には複数の問題が書かれていますが、ここでは3つの問題を解きます。 (7) $(1+x)^{1/2}$ (8) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$ (9) $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

1. 問題の内容

画像には複数の問題が書かれていますが、ここでは3つの問題を解きます。

(7) $(1+x)^{1/2}$

(8) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$

(9) $\cot x = \frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(7) $(1+x)^{1/2}$ は、テイラー展開やマクローリン展開を使うことで近似値を求めることができますが、ここでは展開式を記述するのみとします。

$(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots$

(8) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$ は、逆三角関数に関する問題です。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探します。$\theta$ の範囲は通常 $[0, \pi]$ です。

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ であるので、$\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$となります。

(9) $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ は、三角関数の定義に関する問題です。

$\cot x$ は $\tan x$ の逆数として定義されます。この等式は恒等式です。

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であり、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(7) $(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots$

(8) $\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$

(9) $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ (恒等式)