問題は、関数 $f(x) = x^3 e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = x^3 e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求めることです。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いることを考えます。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の第 $n$ 次導関数を求める公式で、以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)}v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

今回の問題では、$u(x) = x^3$、$v(x) = e^{2x}$ とします。

$u(x)$ の導関数は以下の通りです。

$u'(x) = 3x^2$

$u''(x) = 6x$

$u'''(x) = 6$

$u^{(4)}(x) = 0$

以降の導関数も全て0になります。

$v(x)$ の導関数は以下の通りです。

$v'(x) = 2e^{2x}$

$v''(x) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

$v'''(x) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

一般に、$v^{(k)}(x) = 2^k e^{2x}$ となります。

ライプニッツの公式にこれらの導関数を代入します。

$(x^3 e^{2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^3)^{(n-k)} (e^{2x})^{(k)}$

$u(x)$ の導関数は4階以降は0になるため、実質的に $n-k \le 3$、つまり $k \ge n-3$ の項のみを考えれば良いことになります。したがって、$k$ は $n-3$ から $n$ までの値を動きます。

$(x^3 e^{2x})^{(n)} = {}_n C_{n-3} (x^3)^{(3)} (e^{2x})^{(n-3)} + {}_n C_{n-2} (x^3)^{(2)} (e^{2x})^{(n-2)} + {}_n C_{n-1} (x^3)^{(1)} (e^{2x})^{(n-1)} + {}_n C_{n} (x^3)^{(0)} (e^{2x})^{(n)}$

上記の導関数を代入すると、以下のようになります。

$(x^3 e^{2x})^{(n)} = {}_n C_{n-3} (6) (2^{n-3} e^{2x}) + {}_n C_{n-2} (6x) (2^{n-2} e^{2x}) + {}_n C_{n-1} (3x^2) (2^{n-1} e^{2x}) + {}_n C_{n} (x^3) (2^{n} e^{2x})$

二項係数を計算すると、

${}_n C_{n-3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

${}_n C_{n-2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

${}_n C_{n-1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$

${}_n C_{n} = 1$

これらを代入して整理します。

$(x^3 e^{2x})^{(n)} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} (6) (2^{n-3} e^{2x}) + \frac{n(n-1)}{2} (6x) (2^{n-2} e^{2x}) + n (3x^2) (2^{n-1} e^{2x}) + (x^3) (2^{n} e^{2x})$

$= n(n-1)(n-2) 2^{n-3} e^{2x} + 3n(n-1) x 2^{n-2} e^{2x} + 3n x^2 2^{n-1} e^{2x} + x^3 2^{n} e^{2x}$

$= 2^{n-3} e^{2x} [n(n-1)(n-2) + 6n(n-1)x + 12nx^2 + 8x^3]$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = 2^{n-3} e^{2x} [n(n-1)(n-2) + 6n(n-1)x + 12nx^2 + 8x^3]$