与えられた関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数を求める問題です。 (1) $y = \frac{x-2}{x+3}$ (2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数を求める問題です。

(1) $y = \frac{x-2}{x+3}$

(2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x-2}{x+3}$ の場合:

定義域：分母が0にならないように、$x+3 \neq 0$。したがって、$x \neq -3$。定義域は $x \neq -3$。

値域：$y = \frac{x-2}{x+3}$ を $x$ について解く。

$y(x+3) = x-2$

$yx + 3y = x - 2$

$yx - x = -2 - 3y$

$x(y-1) = -2 - 3y$

$x = \frac{-3y-2}{y-1}$

分母が0にならないように、$y-1 \neq 0$。したがって、$y \neq 1$。値域は $y \neq 1$。

逆関数：$x$ と $y$ を入れ替えて、$y = \frac{-3x-2}{x-1}$。

(2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$) の場合:

$y = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$x \le 2$ であるから、定義域は $x \le 2$。

値域：$x=2$ のとき、$y=2^2-4(2) = 4-8 = -4$。

$x$が減少すると、$y$は増加する。$x$が限りなく小さくなると、$y$も限りなく大きくなる。したがって、$y \ge -4$。

逆関数：

$y = (x-2)^2 - 4$

$y+4 = (x-2)^2$

$x \le 2$ であるから、

$x-2 = -\sqrt{y+4}$

$x = 2 - \sqrt{y+4}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、$y = 2 - \sqrt{x+4}$。

定義域は $x \ge -4$。値域は $y \le 2$。

3. 最終的な答え

(1)

定義域：$x \neq -3$

値域：$y \neq 1$

逆関数：$y = \frac{-3x-2}{x-1}$

(2)

定義域：$x \le 2$

値域：$y \ge -4$

逆関数：$y = 2 - \sqrt{x+4}$