次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 1} (\log_2 |x^2 - x| - \log_2 |x^2 - 1|)$

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 1} (\log_2 |x^2 - x| - \log_2 |x^2 - 1|)$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$\log_2 |x^2 - x| - \log_2 |x^2 - 1| = \log_2 \left| \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} \right| = \log_2 \left| \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \right|$

$x \to 1$ のとき、$x \neq 1$なので、$x - 1 \neq 0$ とみなせるため、$x-1$で約分できます。

$\log_2 \left| \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \right| = \log_2 \left| \frac{x}{x + 1} \right|$

したがって、求める極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 1} \log_2 \left| \frac{x}{x + 1} \right| = \log_2 \left| \frac{1}{1 + 1} \right| = \log_2 \left( \frac{1}{2} \right)$

$\log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = \log_2 (2^{-1}) = -1$

3. 最終的な答え

-1

## (5) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を利用します。

$\ln(1+x)$ のマクローリン展開を利用することも可能です。ここではロピタルの定理を用いる方法で解きます。

1回微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1+x - 1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)}$

さらに$x\to 0$を代入すると

$\frac{1}{2(1+0)} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$