$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x}$, $n \in \mathbb{N}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x}$, $n \in \mathbb{N}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、$(\ln x)^n$ も $e^x$ も $\infty$ に発散するので、ロピタルの定理を適用できる。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n (\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n (\ln x)^{n-1}}{x e^x}$

となる。

分子は $(\ln x)^{n-1}$ で、分母は $xe^x$ であるから、再度ロピタルの定理を適用する。

分子の$(\ln x)^{n-1}$ の次数が $0$ になるまで繰り返す。

$n$ 回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{x e^x} \times \text{多項式}$ の形になる。

一般に、$x \to \infty$ のとき、$e^x$ は $x^n$ より早く $\infty$ に発散する。したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ である。

この事実を使うと、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x} = 0$

がわかる。

より厳密には、$n$に関する帰納法を用いる。

$n = 1$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{xe^x} = 0$ となる。

$n = k$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^k}{e^x} = 0$ と仮定する。

$n = k+1$ のとき、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^{k+1}}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(k+1) (\ln x)^k \cdot \frac{1}{x}}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(k+1) (\ln x)^k}{x e^x} = (k+1) \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^k}{x e^x}$ となる。ここで、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^k}{e^x} = 0$ であり、$x e^x$ は $e^x$ より速く $\infty$ に発散するので、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^k}{x e^x} = 0$ となる。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^{k+1}}{e^x} = 0$ となる。

よって、数学的帰納法により、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)^n}{e^x} = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

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