与えられた関数の第$n$次導関数を求めます。問題は以下の4つです。 (1) $y = \frac{1}{x-a}$ (ただし、$a$は定数) (2) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ (3) $y = x^3e^{2x}$ (4) $y = x\cos x$

1. 問題の内容

与えられた関数の第$n$次導関数を求めます。問題は以下の4つです。

(1) $y = \frac{1}{x-a}$ (ただし、$a$は定数)

(2) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(3) $y = x^3e^{2x}$

(4) $y = x\cos x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x-a} = (x-a)^{-1}$

1階微分: $y' = -1(x-a)^{-2}$

2階微分: $y'' = (-1)(-2)(x-a)^{-3} = 2(x-a)^{-3}$

3階微分: $y''' = 2(-3)(x-a)^{-4} = -6(x-a)^{-4}$

帰納的に考えると、

$y^{(n)} = (-1)^n n! (x-a)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$

(2) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

部分分数分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$のとき、$1 = A(-1+2) + B(-1+1) = A$ より $A = 1$

$x = -2$のとき、$1 = A(-2+2) + B(-2+1) = -B$ より $B = -1$

よって、$y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = (x+1)^{-1} - (x+2)^{-1}$

$\frac{1}{x+1}$の第$n$次導関数は$\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

$\frac{1}{x+2}$の第$n$次導関数は$\frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}}$

したがって、$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x+1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right)$

(3) $y = x^3e^{2x}$

ライプニッツの公式を用いる。$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^3)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)}$

$(x^3)^{(0)} = x^3$, $(e^{2x})^{(0)} = e^{2x}$

$(x^3)^{(1)} = 3x^2$, $(e^{2x})^{(1)} = 2e^{2x}$

$(x^3)^{(2)} = 6x$, $(e^{2x})^{(2)} = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

$(x^3)^{(3)} = 6$, $(e^{2x})^{(3)} = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

$(x^3)^{(4)} = 0$, $(e^{2x})^{(4)} = 16e^{2x} = 2^4 e^{2x}$

$y^{(n)} = {}_n C_0 x^3 (2^n e^{2x}) + {}_n C_1 3x^2 (2^{n-1} e^{2x}) + {}_n C_2 6x (2^{n-2} e^{2x}) + {}_n C_3 6 (2^{n-3} e^{2x})$

$y^{(n)} = e^{2x} \left( x^3 2^n + 3n x^2 2^{n-1} + 3n(n-1) x 2^{n-2} + n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \right)$

(4) $y = x\cos x$

1階微分: $y' = \cos x - x\sin x$

2階微分: $y'' = -\sin x - (\sin x + x\cos x) = -2\sin x - x\cos x$

3階微分: $y''' = -2\cos x - (\cos x - x\sin x) = -3\cos x + x\sin x$

4階微分: $y^{(4)} = 3\sin x + (\sin x + x\cos x) = 4\sin x + x\cos x$

$y^{(n)} = x\cos(x + n\frac{\pi}{2}) + n\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$

(2) $y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x+1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right)$

(3) $y^{(n)} = e^{2x} \left( x^3 2^n + 3n x^2 2^{n-1} + 3n(n-1) x 2^{n-2} + n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \right)$

(4) $y^{(n)} = x\cos(x + n\frac{\pi}{2}) + n\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2})$