与えられた $\theta$ の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をそれぞれ求めます。$\theta$ は以下の4つの値を取ります。 (1) $\theta = \frac{7}{6}\pi$ (2) $\theta = \frac{5}{3}\pi$ (3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ (4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

1. 問題の内容

与えられた $\theta$ の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をそれぞれ求めます。$\theta$ は以下の4つの値を取ります。

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{5}{3}\pi$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$

(4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

2. 解き方の手順

それぞれの $\theta$ の値について、単位円を利用して$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めます。

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi = \pi + \frac{\pi}{6}$

これは第3象限の角であり、$\frac{\pi}{6}$ の角度だけ $\pi$ から進んでいます。

$\sin \frac{7}{6}\pi = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$\cos \frac{7}{6}\pi = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \frac{7}{6}\pi = \frac{\sin \frac{7}{6}\pi}{\cos \frac{7}{6}\pi} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = \frac{5}{3}\pi = 2\pi - \frac{\pi}{3}$

これは第4象限の角であり、$\frac{\pi}{3}$ の角度だけ $2\pi$ から戻っています。

$\sin \frac{5}{3}\pi = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{5}{3}\pi = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\tan \frac{5}{3}\pi = \frac{\sin \frac{5}{3}\pi}{\cos \frac{5}{3}\pi} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$

これは第4象限の角であり、$\frac{\pi}{6}$ の角度だけ $0$ から戻っています。

$\sin (-\frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$\cos (-\frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin (-\frac{\pi}{6})}{\cos (-\frac{\pi}{6})} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

これは第3象限の角であり、$\frac{3}{4}\pi$ の角度だけ $0$ から戻っています。

$-\frac{3}{4}\pi = -\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (-\frac{3}{4}\pi) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (-\frac{3}{4}\pi) = \frac{\sin (-\frac{3}{4}\pi)}{\cos (-\frac{3}{4}\pi)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{7}{6}\pi = -\frac{1}{2}$, $\cos \frac{7}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{7}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin \frac{5}{3}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{5}{3}\pi = \frac{1}{2}$, $\tan \frac{5}{3}\pi = -\sqrt{3}$

(3) $\sin (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, $\cos (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan (-\frac{3}{4}\pi) = 1$