与えられた曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めます。 (1) $y = \sqrt{x}$, 点 $(-2, 0)$ (2) $y = \frac{2x}{x+1}$, 点 $(1, 2)$ (3) $y = e^{2x+1}$, 点 $(0, 0)$

1. 問題の内容

与えられた曲線について、与えられた点を通る接線の方程式を求めます。

(1) $y = \sqrt{x}$, 点 $(-2, 0)$

(2) $y = \frac{2x}{x+1}$, 点 $(1, 2)$

(3) $y = e^{2x+1}$, 点 $(0, 0)$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sqrt{x}$ の接線の傾きを求めるために、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

接点を $(t, \sqrt{t})$ とすると、接線の方程式は

$y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x-t)$

この接線が $(-2, 0)$ を通るので、代入すると

$0 - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(-2-t)$

$-2t = -2-t$

$t = 2$

接点は $(2, \sqrt{2})$ で、傾きは $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

接線の方程式は

$y - \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x-2)$

$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}$

$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$y = \frac{2x}{x+1}$ の接線の傾きを求めるために、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1) - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

点 $(1, 2)$ における傾きは $\frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

接線の方程式は

$y - 2 = \frac{1}{2}(x-1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

(3)

$y = e^{2x+1}$ の接線の傾きを求めるために、微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x+1}$

接点を $(t, e^{2t+1})$ とすると、接線の方程式は

$y - e^{2t+1} = 2e^{2t+1}(x-t)$

この接線が $(0, 0)$ を通るので、代入すると

$0 - e^{2t+1} = 2e^{2t+1}(0-t)$

$-e^{2t+1} = -2te^{2t+1}$

$1 = 2t$

$t = \frac{1}{2}$

接点は $(\frac{1}{2}, e^2)$ で、傾きは $2e^2$

接線の方程式は

$y - e^2 = 2e^2(x-\frac{1}{2})$

$y = 2e^2x - e^2 + e^2$

$y = 2e^2x$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

(3) $y = 2e^2x$