次の関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{\frac{3}{5}}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$ (3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$ (4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = x^{\frac{3}{5}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}}$

(3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\frac{3}{5}}$

べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^7}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}} = x^{-\frac{7}{4}}$

べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を使用します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{4} x^{-\frac{7}{4} - 1} = -\frac{7}{4} x^{-\frac{11}{4}}$

(3) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3} = (x^2 + 2x + 3)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (x^2 + 2x + 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} = (x^2 + 3)^{-\frac{1}{2}}$

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (x^2 + 3)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x) = -\frac{2x}{2 (x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{x}{(x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{4} x^{-\frac{11}{4}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{(x^2 + 3)^{\frac{3}{2}}}$