関数 $y = \frac{1}{x+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、いくつかの方法があります。

方法1: 商の微分法を使う

$f(x) = 1$ と $g(x) = x+1$ とおくと、$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ です。商の微分法は次の通りです。

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

この問題では、$f'(x) = 0$、$g'(x) = 1$ なので、次のようになります。

$y' = \frac{0 \cdot (x+1) - 1 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$

方法2: 合成関数の微分法を使う

$y = (x+1)^{-1}$ と書き換えます。そして、合成関数の微分法を使います。

$u = x+1$ とすると、$y = u^{-1}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -(x+1)^{-2}$

$\frac{du}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$