与えられた関数 $y = \frac{x}{x^2 - x + 1}$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{x^2 - x + 1}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

$y = \frac{x}{x^2 - x + 1}$ を変形して $x$ について解きます。

$y(x^2 - x + 1) = x$

$yx^2 - yx + y = x$

$yx^2 - (y+1)x + y = 0$

$x$ は実数なので、この2次方程式の判別式 $D$ は $D \geq 0$ を満たす必要があります。

$D = (y+1)^2 - 4y^2 = y^2 + 2y + 1 - 4y^2 = -3y^2 + 2y + 1 \geq 0$

$3y^2 - 2y - 1 \leq 0$

$(3y + 1)(y - 1) \leq 0$

したがって、$-\frac{1}{3} \leq y \leq 1$となります。

$y=1$ のとき、

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = -\frac{1}{3}$ のとき、

$-\frac{1}{3}x^2 - (\frac{-1}{3}+1)x - \frac{1}{3} = 0$

$-\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

3. 最終的な答え

最大値：1 ($x=1$のとき)

最小値：$-\frac{1}{3}$ ($x=-1$のとき)