次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{x+1}$ (3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{x+1}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+1}$ を微分します。これは合成関数の微分として計算できます。

$u = x+1$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 1$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$ を微分します。これは商の微分法を用いて計算します。

$u = x$ , $v = x^2 - x + 1$ とすると、

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dv}{dx} = 2x - 1$

商の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - x + 1) - x \cdot (2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{x^2 - x + 1 - 2x^2 + x}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(3) $y' = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)^2}$