与えられた二つの極限の条件を満たす、次数が最も低い整式 $f(x)$ を求める問題です。条件は以下の通りです。 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限の条件を満たす、次数が最も低い整式 $f(x)$ を求める問題です。条件は以下の通りです。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

2. 解き方の手順

まず、最初の条件 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ から、$f(x)$ は $(x+1)^2$ を因数に持つことがわかります。つまり、$f(x) = (x+1)^2 g(x)$ と書けます。さらに、$g(-1) = -1$ である必要があります。

次に、二番目の条件 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ から、$f(x)$ は $(x-3)$ を因数に持つことがわかります。つまり、$f(x) = (x-3)h(x)$ と書けます。さらに、$h(3) = 3$ である必要があります。

以上の考察から、$f(x)$ は $(x+1)^2$ と $(x-3)$ を因数に持つ必要があります。したがって、最小次数であるためには、

$f(x) = A(x+1)^2 (x-3)$

の形であると仮定できます。A は定数です。

ここで、$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{A(x+1)^2(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} A(x+1)^2 = A(3+1)^2 = 16A = 3$ となるので、$A = \frac{3}{16}$ となります。

したがって、$f(x) = \frac{3}{16}(x+1)^2 (x-3)$ が一つの候補となります。

ここで$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = \frac{3}{16}\lim_{x \to -1} (x-3) = \frac{3}{16}(-1-3) = \frac{3}{16}(-4) = -\frac{3}{4} \ne -1$

となるので、$f(x) = A(x+1)^2 (x-3)$という形のままでは条件を満たせません。

$f(x) = (x+1)^2 (x-3) q(x)$とします。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} (x-3)q(x) = -4q(-1) = -1$より、$q(-1) = \frac{1}{4}$。

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+1)^2 q(x) = 16q(3) = 3$より、$q(3) = \frac{3}{16}$。

$q(x)$が一次式$ax+b$のとき、$q(-1) = -a+b = \frac{1}{4}$、$q(3) = 3a+b = \frac{3}{16}$。

辺々引くと$-4a = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16}$となり、$a = -\frac{1}{64}$。

$b = \frac{1}{4} + a = \frac{1}{4} - \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$。

よって、$q(x) = -\frac{1}{64}x + \frac{15}{64} = -\frac{1}{64}(x-15)$。

したがって、$f(x) = -\frac{1}{64}(x+1)^2(x-3)(x-15)$。

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{1}{64}(x+1)^2(x-3)(x-15)$