$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ のとき、なぜ $f(x)$ は $x = -1$ で重根を持つのかを説明せよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ のとき、なぜ $f(x)$ は $x = -1$ で重根を持つのかを説明せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の式を考えます。

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

この極限が存在し、かつ有限な値 $-1$ に収束するということは、 $x$ が $-1$ に近づくとき、$\frac{f(x)}{(x+1)^2}$ は $-1$ に近づくということです。

もし $f(-1) \neq 0$ であるならば、極限は存在しません。なぜなら、分母 $(x+1)^2$ は $x \to -1$ のとき $0$ に収束するからです。したがって、$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2}$ は $\frac{f(-1)}{0}$ の形になり、発散するか、定義できなくなります。

したがって、極限が存在するためには、少なくとも $f(-1) = 0$ である必要があります。つまり、$f(x)$ は $x = -1$ を根に持ちます。このとき、$f(x)$ は $(x+1)$ という因子を持つことになります。

ここで、$f(x) = (x+1)g(x)$ と書けるとします。このとき、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)g(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{g(x)}{(x+1)} = -1$

もし $g(-1) \neq 0$ であれば、$x \to -1$ のとき $\frac{g(x)}{(x+1)}$ は発散するため、極限は存在しません。したがって、$g(-1) = 0$ である必要があります。これは $g(x)$ が $x = -1$ を根に持つことを意味し、$g(x) = (x+1)h(x)$ と書けます。

よって、$f(x) = (x+1)g(x) = (x+1)(x+1)h(x) = (x+1)^2 h(x)$ と書けます。

このとき、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2 h(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} h(x) = -1$

$h(x)$ は $x = -1$ で $-1$ に収束するような関数であれば何でも構いません。例えば、$h(x) = -1$ という定数関数でも良いわけです。

結局、$f(x)$ は $(x+1)^2$ を因子として持つため、$x = -1$ は $f(x)$ の重根（少なくとも2重根）となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ が有限の値を持つためには、$f(x)$ が $x=-1$ で少なくとも二重根を持つ必要がある。なぜなら、もし $f(x)$ が $x=-1$ で二重根を持たない場合、上記の極限は存在しないからである。