定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + \frac{5}{3}x + 3a - \frac{5}{3}$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 + \frac{5}{3}x + 3a - \frac{5}{3}$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 両辺を $x$ で微分する。

積分区間に $x$ が含まれているので、定積分の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} \left( x^2 + \frac{5}{3}x + 3a - \frac{5}{3} \right)$

左辺は微積分学の基本定理より $f(x)$ になります。

右辺は $x$ で微分すると $2x + \frac{5}{3}$ となります。

よって、

$f(x) = 2x + \frac{5}{3}$

ステップ2: $x = a$ を代入する。

元の等式に $x = a$ を代入します。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^2 + \frac{5}{3}a + 3a - \frac{5}{3}$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ より、

$0 = a^2 + \frac{5}{3}a + 3a - \frac{5}{3}$

$0 = a^2 + \frac{14}{3}a - \frac{5}{3}$

両辺を3倍すると、

$0 = 3a^2 + 14a - 5$

これを因数分解すると、

$0 = (3a - 1)(a + 5)$

よって、$a = \frac{1}{3}, -5$

ステップ3: $a$ の値を確定する。

$a$ の候補は $a = \frac{1}{3}, -5$ でした。

$f(x) = 2x + \frac{5}{3}$ を元の積分に代入してみます。

$\int_{a}^{x} (2t + \frac{5}{3}) dt = \left[ t^2 + \frac{5}{3}t \right]_{a}^{x} = x^2 + \frac{5}{3}x - (a^2 + \frac{5}{3}a)$

$x^2 + \frac{5}{3}x - (a^2 + \frac{5}{3}a) = x^2 + \frac{5}{3}x + 3a - \frac{5}{3}$

$-(a^2 + \frac{5}{3}a) = 3a - \frac{5}{3}$

$a^2 + \frac{14}{3}a - \frac{5}{3} = 0$

$3a^2 + 14a - 5 = 0$

$(3a - 1)(a + 5) = 0$

$a = \frac{1}{3}, -5$

ステップ4: $f(x)$ と $a$ の値を求める

$f(x) = 2x + \frac{5}{3}$

$a = \frac{1}{3}$ または $a = -5$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x + \frac{5}{3}$

$a = \frac{1}{3}, -5$