3つの極限の問題を解きます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 - 2n - 1}{3n^2 + 2n - 1}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{2n+1} \right)$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{5^n + 2}$

1. 問題の内容

3つの極限の問題を解きます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 - 2n - 1}{3n^2 + 2n - 1}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{2n+1} \right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{5^n + 2}$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 - 2n - 1}{3n^2 + 2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき$\frac{1}{n} \to 0$と$\frac{1}{n^2} \to 0$となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} = \frac{5}{3}$

(2) 通分して計算します。

$\frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{2n+1} = \frac{n(2n+1) - (n+1)(n+1)}{(n+1)(2n+1)} = \frac{2n^2+n - (n^2+2n+1)}{2n^2+3n+1} = \frac{n^2 - n - 1}{2n^2 + 3n + 1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n - 1}{2n^2 + 3n + 1}$の分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n - 1}{2n^2 + 3n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき$\frac{1}{n} \to 0$と$\frac{1}{n^2} \to 0$となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}$

(3) 分母を$5^n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{5^n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{3}{5} \right)^n}{1 + \frac{2}{5^n}}$

$n \to \infty$のとき$\left( \frac{3}{5} \right)^n \to 0$と$\frac{2}{5^n} \to 0$となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{3}{5} \right)^n}{1 + \frac{2}{5^n}} = \frac{0}{1+0} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $0$