$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ を用いて、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n})$を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、数列の極限と無限級数の計算の問題について解説します。

**問題2**

1. 問題の内容

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ を用いて、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n})$を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた公式を用いて、$\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n}$を変形します。

$a = n^2+3n$, $b = n^2-n$ とすると、

$\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n} = \frac{(n^2+3n) - (n^2-n)}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} = \frac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}}$

分母分子を$n$で割ります。

$\frac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}} = \frac{4}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{4}{1+1} = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2-n}) = 2$

**問題3**

1. 問題の内容

定数$\theta$に対し、数列の極限$\lim_{n\to\infty} \frac{7\cos(n\theta)}{n}$を求めよ。

2. 解き方の手順

はさみうちの原理を利用します。$-1 \le \cos(n\theta) \le 1$ であるから、

$-\frac{7}{n} \le \frac{7\cos(n\theta)}{n} \le \frac{7}{n}$

$\lim_{n\to\infty} -\frac{7}{n} = 0$、$\lim_{n\to\infty} \frac{7}{n} = 0$ より、はさみうちの原理から

$\lim_{n\to\infty} \frac{7\cos(n\theta)}{n} = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} \frac{7\cos(n\theta)}{n} = 0$

**問題4(1)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)}$を求めよ。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{2}{k(k+1)} = 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

部分和を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = 2 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 2 \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right] = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$

極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 2(1-0) = 2$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)} = 2$

**問題4(2)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k+1}}$を求めよ。

2. 解き方の手順

等比級数の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k+1}} = 8 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k+1}} = 8 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^k = \frac{8}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^k - \frac{8}{3}$

$\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

$\frac{8}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^k - \frac{8}{3}= \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2}-\frac{8}{3}= 4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

あるいは

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k+1}} = \frac{8}{3^2} + \frac{8}{3^3} + \frac{8}{3^4} + \dots = \frac{8/9}{1 - 1/3} = \frac{8/9}{2/3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^{k+1}} = \frac{4}{3}$