区間 $0 \le x \le 1$ を $n$ 等分し、各小区間の左端の $f(x) = x^2 + \frac{1}{6}$ の値を高さとする $n$ 個の長方形を作り、その面積の和を $T_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} T_n = \int_0^1 (x^2 + \frac{1}{6}) dx$ であることを示す。

1. 問題の内容

区間 $0 \le x \le 1$ を $n$ 等分し、各小区間の左端の $f(x) = x^2 + \frac{1}{6}$ の値を高さとする $n$ 個の長方形を作り、その面積の和を $T_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} T_n = \int_0^1 (x^2 + \frac{1}{6}) dx$ であることを示す。

2. 解き方の手順

区間 $0 \le x \le 1$ を $n$ 等分したときの各小区間の幅は $\frac{1}{n}$ である。$k$ 番目の小区間は $[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$ となり、その左端は $\frac{k-1}{n}$ である。

したがって、$k$ 番目の長方形の高さは $f(\frac{k-1}{n}) = (\frac{k-1}{n})^2 + \frac{1}{6}$ となる。

$T_n$ は $n$ 個の長方形の面積の和なので、

$$T_n = \sum_{k=1}^n \left\{ \left( \frac{k-1}{n} \right)^2 + \frac{1}{6} \right\} \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \left\{ \frac{(k-1)^2}{n^2} + \frac{1}{6} \right\} \frac{1}{n}$$

$$T_n = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k-1)^2 + \frac{1}{6n} \sum_{k=1}^n 1 = \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 + \frac{1}{6n} \cdot n = \frac{1}{n^3} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 + \frac{1}{6}$$

ここで、$\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$ であるから、

$$T_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6n^3} + \frac{1}{6} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} + \frac{1}{6}$$

$$T_n = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} + 1}{6} = \frac{3 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$$

よって、

$$\lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2} \right) = \frac{1}{2} - 0 + 0 = \frac{1}{2}$$

一方、

$$\int_0^1 \left( x^2 + \frac{1}{6} \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{6} x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

したがって、$\lim_{n \to \infty} T_n = \int_0^1 (x^2 + \frac{1}{6}) dx$ である。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} T_n = \int_0^1 (x^2 + \frac{1}{6}) dx = \frac{1}{2}$