(1) $a, b$ は正の実数で、$a < b$ とする。$a^b = b^a$ であるとき、$1 < a < e < b$ であることを証明する。 (2) $\sqrt[7]{5}$ と $\sqrt[5]{7}$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

(1) $a, b$ は正の実数で、$a < b$ とする。$a^b = b^a$ であるとき、$1 < a < e < b$ であることを証明する。

(2) $\sqrt[7]{5}$ と $\sqrt[5]{7}$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

(1) $a^b = b^a$ の両辺の自然対数をとると、$b \log a = a \log b$ となる。これから、$\frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b}$ が得られる。関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ を考えると、$f(a) = f(b)$ となる。

$f(x)$ の導関数は $f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ である。$f'(x) = 0$ となるのは $\log x = 1$、すなわち $x = e$ のときである。$x < e$ では $f'(x) > 0$ であり、$x > e$ では $f'(x) < 0$ である。つまり、$f(x)$ は $x = e$ で最大値をとる。

$a < b$ で $f(a) = f(b)$ となるためには、$a < e < b$ でなければならない。$a < b$ より、$a = 1$ とすると、$1^b = b^1$ となり、$1 = b$ となるが、$a < b$ に矛盾する。したがって、$a > 1$ である。よって、$1 < a < e < b$ である。

(2) $\sqrt[7]{5}$ と $\sqrt[5]{7}$ の大小を比較するため、両辺を $35$ 乗する。

$(\sqrt[7]{5})^{35} = (5^{1/7})^{35} = 5^5 = 3125$

$(\sqrt[5]{7})^{35} = (7^{1/5})^{35} = 7^7 = 823543$

したがって、$5^5 < 7^7$ であるから、$\sqrt[7]{5} < \sqrt[5]{7}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < e < b$ であることを証明した。

(2) $\sqrt[7]{5} < \sqrt[5]{7}$