$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{4}{5}$ を満たす $\theta$ について、$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\sin \alpha$, $\sin \beta$ の値を求める問題です。ここで $\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$ であり、$\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$ です。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{4}{5}$ を満たす $\theta$ について、$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\sin \alpha$, $\sin \beta$ の値を求める問題です。ここで $\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$ であり、$\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$ です。

2. 解き方の手順

まず $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を求めます。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{4}{5}$ なので、$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

よって

$\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2\theta = (\frac{3}{5})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

次に $\sin \alpha$ を求めます。

$\alpha = \frac{3}{2}\pi - 2\theta$ なので、

$\sin \alpha = \sin (\frac{3}{2}\pi - 2\theta) = -\cos 2\theta = - (-\frac{7}{25}) = \frac{7}{25}$

最後に $\sin \beta$ を求めます。

$\beta = \theta + \frac{3}{4}\pi$ なので、

$\sin \beta = \sin (\theta + \frac{3}{4}\pi) = \sin \theta \cos \frac{3}{4}\pi + \cos \theta \sin \frac{3}{4}\pi = \frac{4}{5} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{3}{5} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{4\sqrt{2}}{10} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = \frac{24}{25}$

$\cos 2\theta = -\frac{7}{25}$

$\sin \alpha = \frac{7}{25}$

$\sin \beta = -\frac{\sqrt{2}}{10}$