与えられた4つの無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$ (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n-3} + \sqrt{4n+1}}$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n-3} + \sqrt{4n+1}}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$

部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{3N-1} - \frac{1}{3N+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3N+2} \right)$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{3N+2} \to 0$ なので、$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(2) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$

部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{N-2} - \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+2} + \frac{1}{N} - \frac{1}{N+3} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right)$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{N+1}, \frac{1}{N+2}, \frac{1}{N+3} \to 0$ なので、$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{6+3+2}{6} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{18}$

(3) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{4n-3} + \sqrt{4n+1}} = \frac{\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3}}{(\sqrt{4n+1} + \sqrt{4n-3})(\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3})} = \frac{\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3}}{(4n+1) - (4n-3)} = \frac{\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3}}{4} = \frac{1}{4} (\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3})$

部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3}) = \frac{1}{4} (\sqrt{5} - \sqrt{1} + \sqrt{9} - \sqrt{5} + \sqrt{13} - \sqrt{9} + \dots + \sqrt{4N+1} - \sqrt{4N-3}) = \frac{1}{4} (\sqrt{4N+1} - 1)$

$N \to \infty$ のとき、$\sqrt{4N+1} \to \infty$ なので、$\lim_{N \to \infty} S_N = \infty$. したがって、発散します。

(4)

$\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$

部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{N+1}} \to 0$ なので、$\lim_{N \to \infty} S_N = 1$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{6}$

(2) 収束し、和は $\frac{11}{18}$

(3) 発散する

(4) 収束し、和は $1$