半径12cmの半球の容器に深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積$V$が、なぜ $V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$ で表されるのかを問う問題です。

1. 問題の内容

半径12cmの半球の容器に深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積$V$が、なぜ

$V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$

で表されるのかを問う問題です。

2. 解き方の手順

半球を$x$軸上に中心を原点として置きます。

半球の半径を$r$とすると、$r = 12$ cmです。

$x$軸に垂直な平面で半球を切ると、断面は円になります。この円の半径を$y$とします。

円の方程式は$x^2 + y^2 = r^2$なので、$y^2 = r^2 - x^2$です。

深さ$x$における円の面積は、$A(x) = \pi y^2 = \pi (r^2 - x^2)$となります。

ここで、積分範囲を$0$から$h$までとすると、半球の底面から深さ$h$までの体積を求めることになります。

しかし、$x$軸の原点を半球の中心に置いたため、$A(x) = \pi(r^2-x^2)$を単純に積分すると、底面からの深さ$h$cmではなく、中心から深さ$h$ cmになってしまいます。

そのため、積分する時に、半球の底面から深さ$x$ cmの位置を、$x \rightarrow r - x$と変数変換してあげる必要があります。

そうすると、断面の円の面積は、$A(x) = \pi(r^2 - (r-x)^2) = \pi (r^2 - (r^2 - 2rx + x^2)) = \pi(2rx - x^2)$となります。

$r = 12$を代入すると、$A(x) = \pi(24x - x^2)$となります。

深さ$h$までの体積は、この面積を$0$から$h$まで積分することで求められます。

$V = \int_0^h A(x) dx = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$

3. 最終的な答え

半径12cmの半球の容器に深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積$V$は、

$V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$

で表されます。これは、深さ$x$での断面積を計算し、それを$0$から$h$まで積分することで求められます。