座標平面上の動点Pの時刻 $t$ における座標が $(x(t), y(t))$ と表されているとき、速度ベクトル $\vec{v}$ と加速度ベクトル $\vec{a}$ がそれぞれ以下のように定義されています。 $\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$ $\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$ また、速度ベクトル $\vec{v}$ の大きさ $|\vec{v}|$ は点Pの速さと呼ばれます。 これらの定義について説明を求められています。

1. 問題の内容

座標平面上の動点Pの時刻 $t$ における座標が $(x(t), y(t))$ と表されているとき、速度ベクトル $\vec{v}$ と加速度ベクトル $\vec{a}$ がそれぞれ以下のように定義されています。

$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$

$\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$

また、速度ベクトル $\vec{v}$ の大きさ $|\vec{v}|$ は点Pの速さと呼ばれます。 これらの定義について説明を求められています。

2. 解き方の手順

- **速度ベクトル** $(\vec{v})$ : 速度ベクトルは、点の位置の時間変化率を表します。

$x$ 座標の時間変化率 $\frac{dx}{dt}$ と $y$ 座標の時間変化率 $\frac{dy}{dt}$ を成分とするベクトルです。

$\frac{dx}{dt}$ は $x$ 座標の速度成分であり、 $\frac{dy}{dt}$ は $y$ 座標の速度成分です。

- **加速度ベクトル** $(\vec{a})$ : 加速度ベクトルは、速度の時間変化率を表します。

速度ベクトルの各成分の時間変化率を計算することで得られます。具体的には、$x$ 座標の速度成分 $\frac{dx}{dt}$ の時間変化率 $\frac{d^2x}{dt^2}$ と $y$ 座標の速度成分 $\frac{dy}{dt}$ の時間変化率 $\frac{d^2y}{dt^2}$ を成分とするベクトルです。

$\frac{d^2x}{dt^2}$ は $x$ 座標の加速度成分であり、 $\frac{d^2y}{dt^2}$ は $y$ 座標の加速度成分です。

- **速さ** $(|\vec{v}|)$ : 速さは、速度ベクトルの大きさ（ノルム）です。速度ベクトル $\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$ の場合、速さは以下のように計算されます。

$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$

速さはスカラー量であり、点の移動の速さを表します。速度ベクトルが点の移動方向と速さの両方を表すのに対し、速さは点の速さのみを表します。

3. 最終的な答え

座標平面上を運動する点Pの位置が時間 $t$ の関数 $(x(t), y(t))$ で与えられたとき、

- 速度ベクトルは、位置の時間微分で定義され、$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$ となります。

- 加速度ベクトルは、速度の時間微分で定義され、$\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$ となります。

- 速さは、速度ベクトルの大きさで定義され、$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ となります。