与えられた無限等比級数が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める問題です。問題は2つあります。 (1) $3 + 3^2(x+2) + 3^3(x+2)^2 + \dots$ (2) $(3-x) + x(3-x) + x^2(3-x) + \dots$

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める問題です。問題は2つあります。

(1) $3 + 3^2(x+2) + 3^3(x+2)^2 + \dots$

(2) $(3-x) + x(3-x) + x^2(3-x) + \dots$

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \dots$ が収束するための条件は、

-1 < r < 1 です。収束するときの和は $\frac{a}{1-r}$ で求められます。

(1) 初項 $a = 3$、公比 $r = 3(x+2)$ です。

収束条件は $-1 < 3(x+2) < 1$

$-1 < 3x + 6 < 1$

$-7 < 3x < -5$

$-\frac{7}{3} < x < -\frac{5}{3}$

収束するときの和は

$S = \frac{3}{1-3(x+2)} = \frac{3}{1-3x-6} = \frac{3}{-3x-5} = -\frac{3}{3x+5}$

(2) 初項 $a = 3-x$、公比 $r = x$ です。

収束条件は $-1 < x < 1$

収束するときの和は

$S = \frac{3-x}{1-x}$

3. 最終的な答え

(1) 収束条件: $-\frac{7}{3} < x < -\frac{5}{3}$

収束するときの和: $-\frac{3}{3x+5}$

(2) 収束条件: $-1 < x < 1$

収束するときの和: $\frac{3-x}{1-x}$