0以上2π未満の範囲で、$\sqrt{3}\sin{2\theta} + \cos{2\theta} + 1 = \frac{8}{3}\cos{\theta}$を満たす$\theta$について考えます。また、$\cos{\theta}=0$または$\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta} = \frac{1}{3}$を満たす$\theta$の値を求め、それらの大小関係を求めます。

1. 問題の内容

0以上2π未満の範囲で、$\sqrt{3}\sin{2\theta} + \cos{2\theta} + 1 = \frac{8}{3}\cos{\theta}$を満たす$\theta$について考えます。また、$\cos{\theta}=0$または$\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta} = \frac{1}{3}$を満たす$\theta$の値を求め、それらの大小関係を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式を用いて式を変形する。

$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$, $\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta}-1$を用いると、与えられた式は

$\sqrt{3}(2\sin{\theta}\cos{\theta}) + 2\cos^2{\theta} - 1 + 1 = \frac{8}{3}\cos{\theta}$

$2\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta} + 2\cos^2{\theta} = \frac{8}{3}\cos{\theta}$

両辺を2で割ると

$\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = \frac{4}{3}\cos{\theta}$

$\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} - \frac{4}{3}\cos{\theta} = 0$

$\cos{\theta}(\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} - \frac{4}{3}) = 0$

よって、$\cos{\theta} = 0$ または $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{4}{3}$

$\cos{\theta} = 0$のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$. これらを$\alpha_1, \alpha_2$とすると、$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}, \alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$です。

(2) $\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta}$を合成します。

$\sqrt{3}\sin{\theta}+\cos{\theta} = 2\sin(\theta+\frac{\pi}{6})$

したがって、$2\sin(\theta+\frac{\pi}{6}) = \frac{4}{3}$, よって、$\sin(\theta+\frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において $\cos \theta = 0$ を満たす $\theta$ は、$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$ と $\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ において $\sin(\theta+\frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$ を満たす $\theta$ を$\beta_1, \beta_2$とする。

$\sin x = \frac{2}{3}$を満たす$x$を考えると、$0< \frac{2}{3} < 1$なので、そのような$x$は2つ存在し、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ともう一つは$\frac{\pi}{2} < x < \pi$の範囲にあることがわかる。

したがって$\beta_1$と$\beta_2$は$2\sin(\theta+\frac{\pi}{6})=\frac{4}{3}$を満たす$\theta$より$\theta = \beta_1, \beta_2$を$\sin^{-1}$を用いて表すと。

$\beta_1=\sin^{-1}(\frac{2}{3})-\frac{\pi}{6}$, $\beta_2 = \pi - \sin^{-1}(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}-\sin^{-1}(\frac{2}{3})$

$\sin^{-1}(\frac{2}{3})<\frac{\pi}{2}$ なので$\sin^{-1}(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$より$\beta_1<\alpha_1$がわかる。

また、$\sin^{-1}(\frac{2}{3}) > 0$より$\frac{5\pi}{6}-\sin^{-1}(\frac{2}{3}) < \frac{5\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$なので、$\beta_2 < \alpha_2$がわかる。

また、$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} - \sin^{-1}(\frac{2}{3})$も成り立ちそうなので$\alpha_1<\beta_2$かどうかも検討。$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6}-\sin^{-1}(\frac{2}{3}) \iff \sin^{-1}(\frac{2}{3})<\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}$を確認すれば良い。

$\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 > \frac{2}{3} \approx 0.667$ より$\frac{2}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. よって$\sin^{-1}(\frac{2}{3}) < \frac{\pi}{3}$

$\beta_1 = \sin^{-1}(\frac{2}{3})-\frac{\pi}{6}$, $\beta_2 = \frac{5\pi}{6} - \sin^{-1}(\frac{2}{3})$, $\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$, $\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$ の大小関係は $\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$

$\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$

大小関係は $\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$ なので解答群は 0