(1) 関数 $f(x) = |x^2 - 1|$ が $x = 1$ で連続であるか調べ、また、$x = 1$ で微分可能であるか調べる。 (2) 関数 $f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとき、次の極限値を $f'(a)$ を用いて表す。 ① $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{h}$ ② $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h}$

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = |x^2 - 1|$ が $x = 1$ で連続であるか調べ、また、$x = 1$ で微分可能であるか調べる。

(2) 関数 $f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとき、次の極限値を $f'(a)$ を用いて表す。

① $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{h}$

② $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h}$

2. 解き方の手順

(1)

連続性:

$f(1) = |1^2 - 1| = 0$

$\lim_{x \to 1} |x^2 - 1| = |1^2 - 1| = 0$

$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ であるので、$f(x)$ は $x = 1$ で連続である。

微分可能性:

$f(x) = |x^2 - 1|$ を $x=1$ の近傍で考える。$x > 0$ のとき、$x^2 > 0$ であるので、

$x=1$ の近くでは、$x^2 < 1$ となる区間と $x^2 > 1$ となる区間がある。

$x=1$ の付近では、$f(x)$ は場合分けして表せる。

$x > 1$ のとき $f(x) = x^2-1$

$x < 1$ のとき $f(x) = 1-x^2$

右側極限: $\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{(1+h)^2 - 1 - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to +0} (2+h) = 2$

左側極限: $\lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{1 - (1+h)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{1 - (1 + 2h + h^2)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-2h - h^2}{h} = \lim_{h \to -0} (-2-h) = -2$

右側極限と左側極限が異なるので、$x = 1$ で微分不可能である。

(2)

①

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{3h} \cdot 3 = 3f'(a)$

②

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a) + f(a) - f(a-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{3h} \cdot 3 + \lim_{h \to 0} \frac{f(a-2h) - f(a)}{-2h} \cdot 2 = 3f'(a) + 2f'(a) = 5f'(a)$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 1$ で連続。

$x = 1$ で微分不可能。

(2)

① $3f'(a)$

② $5f'(a)$