与えられた関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるか、また、$x = 0$ で微分可能であるかを判定する問題です。 関数は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ x & (x < 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるか、また、$x = 0$ で微分可能であるかを判定する問題です。

関数は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ x & (x < 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 連続性の確認

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* $f(0)$ が定義されている。

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。定義より、$f(0) = 0^2 = 0$ です。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を確認します。左側極限と右側極限を計算します。

右側極限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$

左側極限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$

左側極限と右側極限が一致するため、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ が存在します。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ を確認します。$0 = 0$ であるため、この条件も満たされます。

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で連続です。

(2) 微分可能性の確認

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で微分可能であるためには、微分係数が存在する必要があります。つまり、左側微分係数と右側微分係数が存在し、かつそれらが一致する必要があります。

右側微分係数：

$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0$

左側微分係数：

$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} 1 = 1$

左側微分係数と右側微分係数が一致しないため、$f(x)$ は $x = 0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x = 0$ で連続であり、微分可能ではありません。