与えられた定積分を計算します。積分は、0からLまでの区間で、被積分関数は$\frac{1}{EI} (\frac{2}{3} Px) (\frac{2}{3}x)$です。ここで、E, I, P, L は定数です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は、0からLまでの区間で、被積分関数は$\frac{1}{EI} (\frac{2}{3} Px) (\frac{2}{3}x)$です。ここで、E, I, P, L は定数です。

2. 解き方の手順

まず、積分定数 $\frac{1}{EI}$ を積分の外に出します。

$\int_{0}^{L} \frac{1}{EI} (\frac{2}{3} Px) (\frac{2}{3}x) dx = \frac{1}{EI} \int_{0}^{L} (\frac{2}{3} Px) (\frac{2}{3}x) dx$

次に、被積分関数の中の定数 $\frac{2}{3} P$ と $\frac{2}{3}$ を積分の外に出します。

$\frac{1}{EI} \int_{0}^{L} (\frac{2}{3} Px) (\frac{2}{3}x) dx = \frac{1}{EI} (\frac{2}{3}P)(\frac{2}{3})\int_{0}^{L} x^2 dx = \frac{4P}{9EI} \int_{0}^{L} x^2 dx$

$x^2$ の積分を計算します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

積分範囲は0からLなので、定積分は

$\int_{0}^{L} x^2 dx = \frac{L^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{L^3}{3}$

したがって、元の積分は

$\frac{4P}{9EI} \int_{0}^{L} x^2 dx = \frac{4P}{9EI} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{4PL^3}{27EI}$

3. 最終的な答え

$\frac{4PL^3}{27EI}$