与えられた無限級数 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解する。

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

次に、部分和 $S_n$ を求める。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$$

$$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

これはtelescoping sum (隣り合う項が打ち消し合う和)なので、

$$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$

次に、無限級数の和を求めるために、部分和の極限を計算する。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - 0 = 1$$

したがって、与えられた無限級数は収束し、その和は1である。

3. 最終的な答え

この無限級数は収束し、その和は1である。