与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて級数の一般項を書き換えます。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$

次に、部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$

$S_N = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3N-1} - \frac{1}{3N+2} \right) \right]$

$S_N = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3N+2} \right)$

$N \to \infty$ のとき、$S_N$ の極限を求めます。

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3N+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6}$

(2) 同様に、部分分数分解を用いて級数の一般項を書き換えます。

$\frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$

次に、部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$

$S_N = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N-2} - \frac{1}{N+1} \right) + \left( \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+2} \right) + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+3} \right) \right]$

$S_N = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right)$

$N \to \infty$ のとき、$S_N$ の極限を求めます。

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - 0 \right)$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{3} \left( \frac{6+3+2}{6} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{11}{6} \right) = \frac{11}{18}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{6}$ です。

(2) 収束し、和は $\frac{11}{18}$ です。