半径12cmの半球の容器に深さ $h$ cmまで水を入れたときの体積 $V$ が、なぜ $V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$ で表されるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

半径12cmの半球の容器に深さ $h$ cmまで水を入れたときの体積 $V$ が、なぜ $V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$ で表されるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

半球の容器の底面を原点とし、半球の中心が $(0, 12)$ になるように座標軸を設定します。

半球の方程式は $x^2 + (y-12)^2 = 12^2$ であり、$y$ について解くと $y = 12 \pm \sqrt{144 - x^2}$ となります。

この問題では、$y > 12$の部分ではなく、$y < 12$の部分を扱っています。

したがって、$y = 12 - \sqrt{144 - x^2}$です。

深さ $h$ cm まで水を入れた時の体積は、微小な厚さ $dx$ の円盤の体積を積分することで求めることができます。

水の深さが $x$ の時の円盤の半径は $x$ 座標に相当するので、$x$ を半径とします。

円盤の面積は $\pi x^2$ となり、厚さが $dy$ なので、円盤の体積は $\pi x^2 dy$ となります。

しかし、積分変数を $x$ にしたいので、$x$ と $y$ の関係式から $x^2$ を $y$ で表す必要があります。

半球の方程式 $x^2 + (y-12)^2 = 144$ より、$x^2 = 144 - (y-12)^2 = 144 - (y^2 - 24y + 144) = 24y - y^2$ となります。

深さが $h$ cm の時の体積 $V$ は、$x=0$から$x=h$まで積分することで求められます。

$V = \pi \int_0^h x^2 dx = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$。

3. 最終的な答え

半球の容器の深さ $h$ cm までの体積が $V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$ となるのは、深さ $x$ における微小な円盤の体積 $\pi (24x - x^2) dx$ を、底面から深さ $h$ まで積分することによって、体積を求めることができるからです。