与えられた無限級数 $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \dots$ の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \dots$ の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ を部分分数分解します。

$$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$$

両辺に $(3n-1)(3n+2)$ をかけると、

$$1 = A(3n+2) + B(3n-1)$$

$n = \frac{1}{3}$を代入すると、$1 = A(1+2) + B(1-1) = 3A$。よって $A = \frac{1}{3}$

$n = -\frac{2}{3}$を代入すると、$1 = A(-2+2) + B(-2-1) = -3B$。よって $B = -\frac{1}{3}$

したがって、

$$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)$$

次に、部分和 $S_n$ を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right)$$

$$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right) \right]$$

これはtelescoping sum（隣接項相殺）になっているので、

$$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$$

最後に、無限級数の和を求めるために、部分和 $S_n$ の極限を求めます。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{6}$$

3. 最終的な答え

無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{6}$ です。