半径12cmの半球の空容器に、深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積が、なぜ $V = \pi \int_{0}^{h} (24x - x^2) dx$ で表されるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

半径12cmの半球の空容器に、深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積が、なぜ $V = \pi \int_{0}^{h} (24x - x^2) dx$ で表されるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

半球の中心を原点とする座標系を考えます。半球の方程式は $x^2 + y^2 = 12^2$ となります。

ここで、y軸方向に深さ$h$まで水が入っているとします。

水の体積を求めるために、y軸に垂直な平面で半球を切断し、その断面の面積を考えます。切断面は円になります。

y軸上の座標を$x$とすると、その円の半径は $r = \sqrt{12^2 - x^2}$ となります。

したがって、円の面積は $A(x) = \pi r^2 = \pi (144 - x^2)$ となります。

いま、水の深さをy軸の原点から測っているため、積分変数を$x$ではなく$y$と置き換える必要があります。

深さ$h$のときの体積は、半径$r$を用いて

$x^2 + r^2 = 12^2$

と表されます。

また、y軸の正の方向を上と考えると、深さ$h$まで水が入っている場合は、積分範囲は$12-h$から$12$までとなります。

したがって、体積は

$V = \int_{12-h}^{12} \pi r^2 dy = \pi \int_{12-h}^{12} (12^2-y^2) dy$

となります。

しかし、問題文では、深さ$h$を直接変数として積分しています。

問題文にある式を導く方法を考えます。

深さ$x$における断面積を考えます。半径$R=12$の円を$x$軸上に置き、深さ方向に$h$まで積分することを考えます。

このとき、断面積は、ピタゴラスの定理より、$R^2= (R-x)^2 + r^2$であり、$r^2 = R^2 - (R-x)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rx + x^2) = 2Rx - x^2$となります。

よって、断面積は$\pi r^2 = \pi(2Rx - x^2)$となり、半径$R=12$を代入すると、$\pi (24x - x^2)$となります。

したがって、体積$V$は、$V = \pi \int_0^h (24x - x^2) dx$となります。

3. 最終的な答え

半径12cmの半球の空容器に深さ$h$ cmまで水を入れたときの体積が $V = \pi \int_{0}^{h} (24x - x^2) dx$ で表される理由は、深さ$x$における断面積が$\pi (24x - x^2)$で表され、それを0からhまで積分することで体積を求めることができるためです。