(5) $\sum_{k=1}^{n} 3k^2$ を計算せよ。 (6) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ を計算せよ。 (1) $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^3 \}$ の面積を計算せよ。

1. 問題の内容

(5) $\sum_{k=1}^{n} 3k^2$ を計算せよ。

(6) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$ を計算せよ。

(1) $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^3 \}$ の面積を計算せよ。

2. 解き方の手順

(5) $\sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって, $\sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって, $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{2n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)}{4} (n(n+1) - 2) = \frac{n(n+1)}{4} (n^2 + n - 2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n-1)}{4} = \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

(1)

$D_1$ の面積は $\int_{2}^{4} x^3 dx$ で計算できる。

$\int_{2}^{4} x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{2}^{4} = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

(6) $\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

(1) $60$